1.1.1 Paramètres principaux

L’examen des paramètres statistiques des deux listes est effectué à l’intérieur des 12 régions étudiées en excluant la Corse et les DROM. Les valeurs sont dont légèrement différentes des résultats obtenus pour la France entière.

min<-apply(don[,4:5],2,min)
max<-apply(don[,4:5],2,max)
moy<-apply(don[,4:5],2,mean)
ect<-apply(don[,4:5],2,sd)
var<-ect**2
cv<-100*ect/moy
tab<-cbind(min,max,moy,ect,var,cv)
row.names(tab)<-c("Bardella","Marechal")
kable(tab,
      caption = "Paramètres principaux des deux listes ", 
      col.names = c("minimum", "maximum", "moyenne","écart-type","variance","coeff. variation (%)"),
        
      digits=1)

1.1.2 Distribution spatiale

On cartographie la distribution des deux variables en quatre classes à l’aide de la méthode des quantiles (soit trois régions par classe) et on examine la forme des histogrammes correspondant.

## Charge le fonds de carte
map<-readRDS("data/net/map_regi.RDS")

## effectue la jointure
mapdon<-left_join(map,don)

## Cartographie
par(mfrow=c(2,2), cex.main=0.8)
mf_map(mapdon, 
       type="choro", 
       var="Bardella", 
       nbreaks = 4,
       method = "quantile",
       leg_title = "en %", 
       leg_val_rnd = 1)
mf_layout("Vote Bardella", frame=T, credits = "", arrow=F)
mf_map(mapdon, 
       type="choro", 
       var="Marechal", 
       nbreaks = 4,
       method = "quantile",
       leg_title = "en %", 
       leg_val_rnd = 1)
mf_layout("Vote Marechal", frame=T, credits = "", arrow=F)

mf_distr(don$Bardella, nbins=4, bw=sd(don$Bardella))
mf_distr(don$Marechal, nbins=4,bw = sd(don$Marechal))

1.2.1 Espace des variables brutes

La variance des scores de la variable X1 (Bardella) est beaucoup plus forte que celle de la variable X2 (Marechal), ce qui signifie que si l’on s’en tient aux variables brutes, les différences entre régions seront liées essentiellement aux variations de la liste X1. Les différentes unités spatiales se positionneront alors dans un espace de la forme suivante :

plot(don$Bardella,don$Marechal,
     asp=1,
     xlab = "Score Bardella en % (X1)",
     ylab = "Score Marechal en % (X2)",
     main = "Distances dans l'espace des variables brutes",
     pch=20)
text(don$Bardella,don$Marechal,don$regi_code, pos=3, cex=0.8, col="red")
grid()

On voit visuellement sur la figure précédente que les points représentant les unités spatiales sont plus ou moins éloignés, la distance qui les sépare étant une mesure de leur dissimilarité en matière de vote pour les deux listes considérées. Deux mesures de distances peuvent alors classiquement être utilisées pour convertir les positions en matrice de distance, la distance euclidienne (\(D^{Euc}\)) et la distance de Manhattan (\(D^{Man}\)).

• \(D^{Euc}(i,j) = \sqrt{\sum_{k=1}^K (X_{ik}-X_{jk})^2}\)

• \(D^{Man}(i,j) = \sum_{k=1}^K |X_{ik}-X_{jk}|\)

Les deux solutions donnant des résultats assez voisins on se limitera ici à l’analyse de la matrice des distances euclidiennes.

DS_eucl <-as.matrix(dist(don[,4:5],method = "euclidean", upper=T,diag =F))
colnames(DS_eucl)<-don$regi_code
rownames(DS_eucl)<-don$regi_code
#kable(DS_eucl, digits=2, caption = "Dissimilarité en distance euclidienne brute")
tabres<-data.frame(DS_eucl)
tabres  %>% gt(rownames_to_stub = T) %>% 
  tab_header(
    title = md("**Dissimilarité en distance euclidienne brute**")
  ) %>% 
  fmt_number(
    decimals = 1)

1.2.2 Espace des variables standardisées

Si le choix de la métrique euclidienne ou de la métrique de Manhattan introduit peu de différences dans les matrices de dissimilarité, il en va tout autrement de la standardisation des variables qui consiste à ramener chaque indicateur à une même moyenne (\(\mu = 0\)) et surtout un même écart-type (\(\sigma = 1\)).

\(X^*_i = \frac{X_i - \mu_X}{\sigma_X}\)

Pour bien apprécier la différence, onpeut commencer par visualiser les distances (donc les dissimilarités) dans l’espace des variables standardisées en adoptant comme précédemment un repère orthonormé mais dont l’unité de mesure est l’écart-type et non plus les points de pourcentage :

# Standardise les deux variables
don$Bardella_std <- as.numeric(scale(don$Bardella))
don$Marechal_std <- as.numeric(scale (don$Marechal))

plot(don$Bardella_std,don$Marechal_std,
     asp=1,
     xlab = "Score Bardella standardisé (X1)",
     xlim=c(-2.5,2.5),
    ylim=c(-1.5,3),
     ylab = "Score Marechal standardisé (X2)",
     main = "Distances dans l'espace des variables standardisées",
     pch=20)
text(don$Bardella_std,don$Marechal_std,don$regi_code, pos=2, cex=0.8, col="red")
grid()

Les distances euclidiennes dans ce nouvel espace des variables standardisées sont évidemment différentes de celles que l’on avait obtenu dans l’espace des variables brutes.

DS_eucl_std <-as.matrix(dist(don[,6:7],method = "euclidean", upper=T,diag =F))
colnames(DS_eucl_std)<-don$regi_code
rownames(DS_eucl_std)<-don$regi_code
#kable(DS_eucl, digits=2, caption = "Dissimilarité en distance euclidienne standardisée")
tabres<-data.frame(DS_eucl_std)
tabres  %>% gt(rownames_to_stub = T) %>% 
  tab_header(
    title = md("**Dissimilarité en distance euclidienne standardisée**")
  ) %>% 
  fmt_number(
    decimals = 1)

1.2.3 Espace des variables ordinales

On pourrait transformer nos deux variables \(X_1\) et \(X_2\) en rang pour en faire des distributions uniformes insensibles au jeu des valeurs exceptionnelles. Si l’on effectue une transformation en rang, la géométrie de l’espace devient celle d’une grille de 12 x 12 positions en fonction des rangs obtenus par les unités spatiales pour le vote Bardella ou le vote Maréchal. Dans cet espace discret (sauf en cas de valeurs ex aequo) il semble logique d’utiliser la somme des différences de rang en valeur absolue, c’est-à-dire la distance de Manhattan sur les variables transformées. Cette distance correspond au plus court chemin en suivant la grille qui croise les rangs de X1 et X2 :

don$Bardella_rnk <- rank(-don$Bardella)
don$Marechal_rnk <- rank(-don$Marechal)

plot(don$Bardella_rnk,don$Marechal_rnk,
     asp=1,
     xlab = "Rang pour le score Bardella (X1)",
    frame = F,
    axes =T,
    xlim=c(1,12),
    ylim=c(1,12),
     ylab = "Rang pour le score Marechal (X2)",
     main = "Distances dans l'espace des rangs",
     pch=20)
text(don$Bardella_rnk,don$Marechal_rnk,don$regi_code, pos=2, cex=0.8, col="red")
abline(v=1:12, lty=1, lwd=0.5)
abline(h=1:12, lty=1, lwd=0.5)

DS_Man_rnk <-as.matrix(dist(don[,8:9],method = "manhattan", upper=T,diag =F))
colnames(DS_Man_rnk)<-don$regi_code
rownames(DS_Man_rnk)<-don$regi_code
#kable(DS_eucl, digits=2, caption = "Dissimilarité en distance euclidienne standardisée")
tabres<-data.frame(DS_Man_rnk)
tabres  %>% gt(rownames_to_stub = T) %>% 
  tab_header(
    title = md("**Dissimilarité de Manhattan sur les rangs**")
  ) %>% 
  fmt_number(
    decimals = 0)

Il existe de nombreuses autres solutions permettant de transformer le petit tableau de données en d’autres matrices de dissimilarité tout aussi légitimes que les trois présentées ci-dessus. On pourrait par exemple utiliser une autre métrique telle que distance de Tchebychev qui est la magnitude absolue maximale des différences entre les coordonnées des points.

Le point important à retenir avant de passer à la suite des analyses est que le choix de la matrice de dissimilarité exerce une influence cruciale sur les résultats des méthodes de classification ou de régionalisation qui vo,nt être mise en oeuvre. Or, ce choix est trop souvent implicite dans les logiciels de statistiques qui proposent par défaut des méthodes fondées sur la variance c’est-à-dire sur le carré des distances euclidiennes standardisées. Ce choix est le plus souvent justifié car il évite aux débutants en statistique des erreurs fatales telles que le fait de ne pas standardiser un jeu de variables hétérogènes ayant des unités de mesure et des ordres de grandeur différents. Mais il peut aussi aboutir à des résultats discutables ou du moins pas forcément les plus adaptés à la problématique.

1.3.1 Choix du critère à optimiser

Les méthodes de classification et de régionalisation ascendante hiérarchiques ont pour point commun d’opérer un regroupement des unités spatiales en allant des plus ressemblantes au moins ressemblantes. Elles fournissent un arbre de regroupement qui permet de visualiser chaque étape du regroupement et des critères permettant d’opérer un compromis entre l’homogénéité interne des classes ou régions et leur nombre.

Une bonne classification (ou une bonne régionalisation) devra comporter le moins de classes ou régions pour offrir un bon résumé. Mais également un nombre suffisant pour éviter de constituer des ensembles trop hétérogène. On utilise souvent la part de variance expliquée par la partition pour mesurer cette qualité. Mais ce choix conduit à imposer une métrique (distance euclidienne) et un algorithme (critère de Ward). Il est plus intéressant de prendre un critère plus général fonde sur le rapport entre les dissimilarité internes et externes des entités constituées. Si on s’en tient à la définition de classes ou régions homogènes comme des groupes d’unités spatiales qui se ressemblent plus entre elles qu’elles ne ressemblent aux unités spatiales des autres groupes, alors notre critère à optimiser \(H\) prendra une des formes suivantes :

\(H = \frac{Dissimilarité \space inter \space groupe}{Dissimilarité \space intra \space groupe}\)

ou

\(H = \frac{Dissimilarité \space inter \space groupe}{Dissimilarité \space totale}\)

ou

\(H = 1- \frac{Dissimilarité \space intra \space groupe}{Dissimilarité \space totale}\)

1.3.2 Choix de l’algorithme de regroupement

Une classification ascendante hiérarchique peut s’opérer selon différents algorithmes qui correspondent à différents critères d’optimisation Le critère qui semble intuitivement le plus simpleest la minimisation des distances moyennes intra-classes et la maximisation des distances moyennes inter-classes. Cette méthode du average linkage est la plus simple à comprendre. Mais il existe beaucoup d’autres algorithmes cherchant par exemple à minimiser les distances minimales (single linkage) , les distance maximales (complete linkage), les distances médianes, etc… La méthode par défaut de la plupart des logiciels de statistiques est appelée méthode de Ward qui consiste à minimiser la somme des distances entre les centres de gravité des classes ce qui la place l’analyse dans le cadre de l’analyse de la variance (Ward 1963).Cette méthode comporte toutefois des variantes qui produisent des résultats différentes comme cela a été démontré par Murtagh, Legendre (2014) et on distingue en pratique deux méthodes Ward.D et Ward.D2 qui s’appliquent à des distances simples ou des distances élevées au carré.

Pour assurer une bonne comparabilité des résultats de classification et de régionalisation, nous utiliserons ici la fonction R-base hclust() (hierarchical clustering) plutôt que la fonction HCPC() du package FactoMineR qui est plus puissante mais introduit souvent des modifications de l’algorithme de base à l’insu de l’utilisateur non averti (notamment le fait d’optimiser a posteriori les classes par une méthode de type k-means). La régionalisation sera faite à l’aide de la fonction constr.clust() du package adespatial qui reproduit fidèlement la méthode de la fonction hclust() en y ajoutant simplement une contrainte de contiguïté des unités regroupées. Pour plus de détail on se reportera à la description de la classification avec contrainte de contiguïté dans Guénard, Legendre (2022).

1.3.3 Comparaison des classifications

Nous allons examiner les résultats des classifications opérées sur les matrices de dissimilarité en distance euclidienne sur variables standardisées ou non standardisées et en distance de Manhtattan sur variables ordinales avec la même méthode Ward.D. Nous examinerons également dans chaque cas la distribution géographique des résultats pour une partition en deux classes afin de voir si les classes obtenues correspondent ou non à une régionalisation de la France

par(mfrow=c(3,2), mar=c(2,4,3,0))

# Euclidienne non standardisée
cah_euc<-hclust(dist(DS_eucl), method = "ward.D")
plot(cah_euc,
     hang = -1, 
     cex=0.8,
     cex.main = 1,
     main="Distance euclidienne brute", 
     ylab="Dissimilarité",
     sub=NA,xlab="")

clas<-as.factor(cutree(cah_euc, k=3))
map$clas<-clas
mf_map(map, type="typo",var="clas")
mf_layout("Partition en 3 classes", frame=T, arrow=F,credits="")

# Euclidienne standardisée
cah_euc_std<-hclust(dist(DS_eucl_std), method = "ward.D")
plot(cah_euc_std,
     hang = -1, 
     cex=0.8,
     cex.main = 1,
     main="Distance euclidienne standardisée", 
     ylab="Dissimilarité",
     sub=NA,xlab="")

clas<-as.factor(cutree(cah_euc_std, k=3))
map$clas<-clas
mf_map(map, type="typo",var="clas")
mf_layout("Partition en  3 classes", frame=T, arrow=F,credits="")

# Manhattan ordinale
cah_man_rnk<-hclust(dist(DS_Man_rnk), method = "ward.D")
plot(cah_man_rnk,
     hang = -1, 
     cex=0.8,
     cex.main = 1,
     main="Distance ordinale de Manhatan", 
     ylab="Dissimilarité",
     sub=NA,xlab="")

clas<-as.factor(cutree(cah_man_rnk, k=3))
map$clas<-clas
mf_map(map, type="typo",var="clas")
mf_layout("Partition en  3 classes", frame=T, arrow=F,credits="")

1.4.1 Régionalisation

Comme dans le cas de la classification, il existe de nombreux algorithmes possible pour regrouper les unités spatiales en cherchant à minimiser les dissimilarités intra-régionales. Nous nous limiterons ici à l’algorithme de régionalisation réalisé par la fonction constr.hclust() du package adespatial qui présente l’intérêt d’utiliser exactement les mêmes formules de calcul que la fonction hclust() de R-base et offre une parfaite possibilité de comparaison des résultats entre les deux approches. Pour éviter de multiplier les exemples, nous nous limiterons ici à l’analyse des régionalisations fondées sur une matrice de contiguïté, en reprenant les trois matrices de dssimilarité précédentes.

contig<-spdep::poly2nb(mapdon,row.names = mapdon$regi_code)
linky<-nb2listw(contig)
neighbors <- listw2sn(linky)[,1:2]

par(mfrow=c(3,2), mar=c(2,4,3,0))

# Euclidienne non standardisée
reg_euc<-constr.hclust(d = dist(DS_eucl), method = "ward.D", links =neighbors)
plot(reg_euc,
     hang = -1, 
     cex=0.8,
     cex.main = 1,
     main="Distance euclidienne brute", 
     ylab="Dissimilarité",
     sub=NA,xlab="")

clas<-as.factor(cutree(reg_euc, k=3))
map$clas<-clas
mf_map(map, type="typo",var="clas")
mf_layout("Partition en 3 régions", frame=T, arrow=F,credits="")

# Euclidienne standardisée
reg_euc_std<-constr.hclust(d = dist(DS_eucl_std), method = "ward.D", links =neighbors)
plot(reg_euc_std,
     hang = -1, 
     cex=0.8,
     cex.main = 1,
     main="Distance euclidienne standardisée", 
     ylab="Dissimilarité",
     sub=NA,xlab="")

clas<-as.factor(cutree(reg_euc_std, k=3))
map$clas<-clas
mf_map(map, type="typo",var="clas")
mf_layout("Partition en 3 régions", frame=T, arrow=F,credits="")

# Manhattan ordinale
reg_man_rnk<-constr.hclust(d = dist(DS_Man_rnk), method = "ward.D", links =neighbors)
plot(reg_man_rnk,
     hang = -1, 
     cex=0.8,
     cex.main = 1,
     main="Distance ordinale de Manhatan", 
     ylab="Dissimilarité",
     sub=NA,xlab="")

clas<-as.factor(cutree(reg_man_rnk, k=3))
map$clas<-clas
mf_map(map, type="typo",var="clas")
mf_layout("Partition en 3 régions", frame=T, arrow=F,credits="")

2.1.1 Loi rang-taille ?

La distribution du pourcentage de votes en fonction du rang des listes suit une loi exponentielle presque parfaite (\(r^2 =0.98 , p < 0.001\))

# métadonnées
listes<-readRDS("data/net/don_listes.RDS")

# Votes par circo
don<-readRDS("data/net/don_circ.RDS")
mat<-as.matrix(don[,12:49])
listes$pct <-100*apply(mat,2,sum)/sum(mat)
library(ineq)
listes$gini<-apply(mat,2,Gini)

# Hiérarchie
listes$rang<-rank(-listes$pct)
mod<-lm(log(listes$pct)~listes$rang)

library(kableExtra)
stargazer(mod,type = "html",
          dep.var.labels = "% de votes reçus par une liste (log)",
          dep.var.caption = "Variable dépendante",
          covariate.labels = "Rang de la liste")

ggplot(listes, aes(x=rang,y=pct, label=tete_nom)) +
         geom_point() +
         geom_line() +
     geom_text_repel(cex=3) +
     scale_x_continuous("Rang") +
     scale_y_log10("Part des suffraxes exprimés (%)") +
     geom_smooth(method="lm") +
    theme_minimal() +
     ggtitle("Relation entre le % de voix et le rang des listes")

2.1.2 Typologie

La régularité de la loi précédente ne permet pas d’établir une rupture nette permettant de séparer grandes et petites listes. Mais une typologie combinant le logarithme du score national en % et l’indice de concentration de Gini par circonscription permet de mieux distinguer des listes mineures ayant obtenu des votes dans un petit nombre de circonscription et des listes d’audience nationale ayant obtenu des voix dans un nombre plus important de circonscriptions même lorsque leur score est faible.

# métadonnées
listes<-readRDS("data/net/don_listes.RDS")

# Votes par circo
don<-readRDS("data/net/don_circ.RDS")
mat<-as.matrix(don[,12:49])
listes$pct <-100*apply(mat,2,sum)/sum(mat)
library(ineq)
listes$gini<-apply(mat,2,Gini)

tab<-cbind(log(listes$pct), listes$gini)
w<-kmeans(tab,centers = 2,iter.max = 1000)
listes$type<-as.factor(w$cluster)
levels(listes$type)

[1] "1" "2"

levels(listes$type) <-c("Listes nationales","Listes mineures")

ggplot(listes, aes(x=pct,y=gini, label = tete_nom, colour=type)) +
       geom_point() +
       geom_text_repel(cex=3) +
  stat_ellipse()+
  scale_x_log10("Score national (en %)") +
  scale_y_continuous("Indice de concentration de Gini") +
  theme_light() +
  ggtitle("Typologie des listes candidates aux élections européennes de juin 2024")

2.2.1 Choix de la matrice de dissimilarité

On choisit comme matrice de dissimilarité le coefficient de divergence c’est-à-dire la part des électeurs qui devraient changer de votes pour que les deux unités spatiales affichent le même profil électoral. Cet indice correspond à la moitié de la distance de Manhattan entre les profils en pourcentage :

\(\frac{1}{2} \sum_{p=1}^{38} {|\frac{X_{ip}}{X_{i.}} - \frac{X_{jp}}{X_{j.}}|}\)

On peut illustrer le calcul en prenant l’exemple de la plus forte dissimilarité qui est observée entre le département de l’Aisne (02) et le département de Paris (75) :

# Jointure
map<-readRDS("data/net/map_dept.RDS")
don<-readRDS("data/net/don_dept.RDS")
mapdon<-left_join(map,don)
matdon<-as.matrix(st_drop_geometry(mapdon[12:49]))
matdon<-100*matdon/apply(matdon,1,sum)
rownames(matdon)<-mapdon$dept
colnames(matdon)<-listes$tete_nom

# Dissimilarité
dissim<-dist.ldc(matdon,method = "manhattan")/2

Info -- For this coefficient, sqrt(D) would be Euclidean
Info -- This coefficient does not have an upper bound (no fixed D.max)

#as.matrix(dissim)[c("02","80","75","92"),c("02","80","75","92")]

# Exemple
x<-data.frame(t(matdon[c("02","75"),]))
names(x)<-c("Aisne (02)", "Paris (75)")
x$dif<-x[,1]-x[,2]
x$difabs<-abs(x$dif)
total<-apply(x,2,sum)
x<-rbind(x,total)
row.names(x)[39]<-"Total"
kable(x,digits=1,)

2.2.2 Résultats de la classification

L’application d’une méthode de classification ascendante hiérarchique à la matrice de dissimilarité fait apparaître assez nettement cinq classes qui regroupent souvent des départements voisins mais sans pour autant former des régions.

cah<-hclust(dissim, method="ward.D")
par(mfrow=c(1,2))
plot(cah, hang=-1, cex=0.5, main= "Arbre de classification")
clas<-as.factor(cutree(cah,5))
mapdon$cah<-as.factor(clas)
mf_map(mapdon, type="typo",var="cah", leg_title = "Classes")
mf_layout("Classification des départements", credits="Mehode de Ward appliquée à la distance de divergence", frame = T, scale = T, arrow=F)

Une analyse des profils permet ensuite de caractériser ces classes.

tabres<-data.frame(matdon)
tot <- as.numeric(tabres %>% summarise_all(.funs= c("mean")))
tabres$clas<-clas
res<-tabres %>% group_by(clas) %>% summarise_all(.funs= c("mean"))
mat<-res[,-1]
for(i in 1:5){mat[i,]<-mat[i,]-as.matrix(tot)}
mat<-t(mat)
colnames(mat)<-c("Classe1","Classe2","Classe3","Classe4","Classe5")
mat<-as.data.frame(mat)
mat$Profil<-tot
mat<-mat[order(-mat$Profil),]
kable(mat[1:13,],digits=2,caption = "Ecart des classes au profil moyen (listes principales)" )

2.3.1 Matrice de contiguïté

On calcule la matrice de continguïté au niveau départemental à l’aide des fonctionspoly2nb() et nb2listw()du package spdep. Puis on les viusalise cartographiquement.

# Contiguïté
cont<-poly2nb(mapdon)
contw<-nb2listw(cont)

# Extrait les liens
linky<-nb2mat(cont)
matlink1<-linky
matlink1[linky>0]<-1
colnames(matlink1)<-row.names(matlink1)
link1<-melt(matlink1) %>% filter(value >0) %>% select(i=Var1, j=Var2)


## Calcule les centroïdes
mapctr<-st_centroid(mapdon)
ctr <- st_coordinates(mapctr)

# Visualise le graphe
par(mfrow=c(1,1))
mf_map(mapdon, type="base",col="lightyellow")
segments(ctr[link1[,1],1] ,ctr[link1[,1],2], ctr[link1[,2],1] ,ctr[link1[,2],2],
         col="red")
#mf_map(mapctr, type="base",pch=20,col="white", add=T, cex=5)
mf_label(mapctr, var="dept", col="blue",cex=0.7,halo = T,bg = "white")
mf_layout("Matrice de contiguïté départementale", frame=T, 
          credits = "Grasland C., 2025")

2.3.2 Dissimilarités locales

Avant de procéder à la régionalisation, on peut visualisser les discontinuités en extrayant les frontières des unités spatiales à l’aide de la fonction getBorders()du package cartography et en effectuant une jointure avec les valeurs de dissimilarité (Grasland 1997). On pourra ainsi repérer les limites qui séparent des départements très ressemblants (donc susceptibles de se regrouper en régions) ou au contraire très différents (qui seront probablement localisés dans des régions différentes).

# Met en colonnes la matrice de dissimilarité 
m<-as.matrix(dissim)
tabdis<-melt(m,as.is = TRUE)
names(tabdis)<-c("i","j","DSij")

# Extrait les frontières d'unités spatiale
#library(cartography)
maplim<-getBorders(mapdon)
names(maplim)<-c("codelim","i","j","geometry")

# Effectue la jointure
maplim<-merge(maplim, tabdis, by=c("i","j"))


# Visualise les dissimilarités les plus fortes
par(mfrow=c(1,1))
mf_map(mapdon, type="base",col="lightyellow")
mf_map(maplim, type="prop", col="red",var="DSij", val_max = 70, leg_pos = "left")
mf_layout("Cartographie des discontinuités", frame=T, 
          credits = "Grasland C., 2025")

Une approche différentes, proposée par les écologues, consiste à mesurer la contribution des unités spatiales et des variables les décrivant à la production des dissimilarités au niveau global et local. Cette approche est classiquement menée à l’aide de mesures basées sur la variance, mais les auteurs proposent de la généraliser à une mesure quelconque de dissimilarité ce qui permet une meilleure adéquation à la problématique (Legendre, De Cáceres 2013). Et qui permet d’appliquer la méthode non pas à l’ensemble des dissimilarités (comme dans une ACP ou une CAH) mais uniquement aux dissimilarités locales.

2.3.3 Résultats de la regionalisation

La réalisation d’une régionalisation ascendante hiérarchique est très simple avec la focntion constr.hclust()du package adespatial. Il faut juste transformer au préalable la matrice de voisinage créé par spdep en une fonction de proximité propre à ce logiciel à l’aide de la fonction listw2sn(). On obtient alors un objet de type hclust comparable à celui que l’on a obtenu en réalisant une classification et utilisant exactement les mêmes paramètres de dissimilarité et d’algorithme de regroupement. On peut donc classiquement visualiser l’arbre de classification et examiner la hiérarchie des noeuds afin de choisir le nombre optimal de régions.

neighbors <- listw2sn(contw)[,1:2]
regio<-constr.hclust(d=dissim, method="ward.D", links=neighbors)



par(mfrow=c(1,2), mar=c(3,2,3,0))

plot(regio, main="Arbre de classification", hang=-1, cex = 0.7)
barplot(rev(regio$height)[1:20], main = "Hiérarchie des noeuds",names.arg = 1:20,cex.names = 0.4)

On peut représenter les quatre niveaux de régionalisation en effectuant un découpage de l’arbre à l’aide de la fonction cutree et d’un logiciel quelconque de cartographie thématique dans R comme mapsf.

mapdon$reg2<-as.factor(cutree(regio,2))
mapdon$reg3<-as.factor(cutree(regio,3))
mapdon$reg4<-as.factor(cutree(regio,4))
mapdon$reg10<-as.factor(cutree(regio,10))

par(mfrow=c(2,2))
mf_map(mapdon, var="reg2",type="typo", leg_title = "Classes")
mf_layout("2 régions",credits = "", scale=T, frame=T, arrow=F)

mf_map(mapdon, var="reg3",type="typo", leg_title = "Classes")
mf_layout("3 régions",credits = "", scale=T, frame=T, arrow=F)

mf_map(mapdon, var="reg4",type="typo", leg_title = "Classes")
mf_layout("4 régions",credits = "", scale=T, frame=T, arrow=F)

mf_map(mapdon, var="reg10",type="typo", leg_title = "Classes")
mf_layout("10 régions",credits = "", scale=T, frame=T, arrow=F)

Mais on peut également utiliser la fonction plot:constr.hclust() du package adespatial à condition de lui fournir les centroïdes des unités spatiales. On peut alors visualiser la façon dont le graphe de contiguïté a été segmenté pour aboutir à une régionalisation. Il est alors intéressant d’y superposer la carte des discontinuités pour mieux voir comment les régions réspectent dans la mesure du possible les frontières correspondant aux plus fortes différences entre unités voisines.

# Calcule les centroïdes
ctr<-st_coordinates(st_centroid(mapdon))

# Régionalise
regio<-constr.hclust(d=dissim, method="ward.D", links=neighbors, coords=ctr)


par(mar=c(0,0,0,0))
# Tracele fonds de carte et les dsicontinuités
mf_map(mapdon$geometry, type="base", col="white",border="black",lwd=0.2)
mf_map(maplim, type="prop", col="gray50",var="DSij", lwd_max = 5,leg_pos = "left", add=T)
mf_layout("Relation entre régionalisation et dsicontinuités",frame=T)
plot(regio,k = 10,links = TRUE,axes = F,plot = FALSE,hybrids = "no")

On procède maintenant à l’analyse des écarts au profil moyen en reprenant la même procédure que pour la classification. Pour faciliter l’analyse, on recode les noms de régions pour combiner les partitions en trois régions (Nord-Est = NE, Sud-Ouest = SO, Ile-de-France = IF) et la partition en 10 (les quatres sous-régions du Nord-Est sont codées NE1,NE2,NE3,NE4, les trois régions du Sud-Ouest SO1, SO2, SO3 et les trois régions d’Ile-de-France IF1, IF2,IF3)

tabres<-data.frame(matdon)
tot <- as.numeric(tabres %>% summarise_all(.funs= c("mean")))
tabres$clas<-cutree(regio,10)
res<-tabres %>% group_by(clas) %>% summarise_all(.funs= c("mean"))
mat<-res[,-1]
for(i in 1:10){mat[i,]<-mat[i,]-as.matrix(tot)}
mat<-t(mat)
colnames(mat)<-c("NE1","NE2","NE3","NE4","SO1", "SO2","SO3","IDF1","IDF2","IDF3")
mat<-as.data.frame(mat)
mat$Profil<-tot
mat<-mat[order(-mat$Profil),]
kable(mat[1:13,],digits=2,caption = "Ecart des régions au profil moyen (listes principales)" )

2.4.1 Intérêt et limites de la classification

L’analyse de classification offre obligatoirement un meilleur résumé de l’information contenue dans la matrice de dissimilarité dans la mesure où elle ne subit pas la contrainte de contiguïté qui est imposée à la régionalisation. Même si la méthode de classification ascendante hhiérarchique n’aboutit pas nécessairement à une solution optimale en matière de maximisation de l’homogénéité intra-classe et de l’hétérogénéité inter-classe (la méthode des k-means est a priori plus efficace mais plus coûteuse en temps de calcul), elle présente l’avantage de fournir des résumés à différents niveaux d’agrégation et de distinguer des types et des sous-types à l’intérieur de ceux-ci.

La limite de la méthode concerne sa visualisation cartographique qui laisse apparaître des blocs régionaux mais qui correspondent rarement à une classe unique. Les résultats n’ont pas vocation à produire une géographie du vote même si le commentaire des résultats fait appel à des notions de proximité et de localisation.

2.4.2 Intérêt et limites de la régionalisation

L’analyse de la régionalisation possède les mêmes propriétés de regroupement hiérarchique en régions qui se subdivisent ensuite en sous-région ce qui permet une analyse nuancée des oppositions principales et secondaires. L’analyse géographique des résultats permet donc bien de construire un commentaire multiscalaire partant des divisions principales (“Nord-Est/ Nord-Ouest/ Ile-de-France) pour extraire ensuite des subdivisions secondaires ce qui est la procédure habituelle de la description d’un espace géographique.

La limite de l’analyse tient ici au poids de la contrainte de contiguïté qui oblige à regrouper les entités à l’intérieur d’un ensemble d’unités voisines même lorsqu’elles sont séparées par des discontinuités extrêmement élevées. Ce qui aboutit à une hétérogénéité parfois très élevé des entités regroupées.

2.4.3 Autocorrélation et diffusion spatiale des comportements électoraux

Finalement le choix de l’une ou l’autre méthode dépend des hypothèses que l’on formule sur l’origine et les conséquences de l’autocorrélation spatiale des comportements électoraux.

• Si l’on suppose que les causes du votes sont principalement d’ordre social et liées à des causes individuelles qui ne dépendent pas de la localisation géographique, alors la classification semble la solution la plus logique. Une fois identifiées les classes correspondant à tel ou tel type de comportement électoral, on pourra les mettre en rapport avec d’autres attributs des lieux tels que la richesse des habitants, les modes d’habitat, l’accessibilité au services, etc.

• Si l’on suppose au contraire que les comportements électoraux de propagent dans l’espace à la faveur de processus d’imitation ou d’identification, alors il semble pertinent de regrouper des lieux proches en région qui sont susceptibles de voir leurs attitudes électorales converger au cours du temps. La régionalisation est alors un outil pertinent de prospective ou de stratégie.